MPA S2 algèbre Responsable : Christine Huyghe Contrôle Continu du 21 mai 2013. Durée : 3h.

Il sera accordé le plus grand soin à la qualité de la rédaction. Sont interdits : les documents, les téléphones portables, les baladeurs, et tout autre objet électronique (calculatrice, ...). Le barême noté n’est qu’indicatif.

Cours (4 pts). Soit un corps.

1- Soient un corps et un -espace vectoriel de dimension finie, ( ) un endomorphisme de . Montrer que est injectif si et seulement si l’image d’une base de par est une base.

Vrai/Faux (6 pts). Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier votre réponse : donner une démonstration si vous trouvez que l’affirmation est juste. Dans le cas contraire, donner un contre-exemple.

a- Soient un ℂ-espace vectoriel de dimension finie, ( ) un endomorphisme de tel que ^{3} = . Alors les valeurs propres de vérifient 3 = 1.

b- Soient = ℂ^{3} et ( ), alors si ^{3} = 0, on a ^{2} = 0. c- Soient = ℂ^{3}, ( ), , alors il existe _{1} _{2} _{3} _{4} ℂ non tous

nuls, tels que _{1} + _{2} ( ) + _{3} ^{2} + _{4} ^{3}( ) = 0. d- Soit ℝ, les 4 vecteurs suivants forment une base de ℂ^{4} :

= ; ; ; ; ; ; 1 0 1 0 ; ; ; ; ; ; = ; ; ; ; ; ; \begin{matrix}1 \\ ^{2} + 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ; ; ; ; ; ; = ; ; ; ; ; ; \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} ; ; ; ; ; ; = ; ; ; ; ; ; \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ; ; ; ; ; ;

e- Soient un corps et un -espace vectoriel de dimension finie, ( ),

alors ( + ) ( ) + ( ). f- Deux matrices de _{}(ℂ) qui ont même rang ont aussi même trace.

Exercice 1 (5 pts). a- Soit = ( _{}) _{3}(ℝ). Calculer ( (^{})) en fonction des coefficients _{}

et montrer que ( (^{})) = 0 si et seulement si = 0. b- Montrer que l’application Φ_{}:

\begin{matrix}_{3}(ℝ) & & ℝ \\ & & ( ) \end{matrix}

est une forme linéaire non nulle si = 0, ce qu’on suppose dans la suite de l’exercice.

c- Soient _{}= (Φ_{}) et = (Φ_{}). Quelle est la dimension de _{}? Donner une base de . (Indication : on pourra chercher une base constitutée de la somme de au plus 2 matrices élémentaires).

1- a- On suppose que est inversible, donner une base de _{}.

d- Soit

= ; ; ; 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ; ; ;

Donner une base de _{}constituée de matrices élémentaires. e- Soit une matrice de rang 1. Donner une base de _{}.

Exercice 2 (6 pts) Soit ℝ, et _{3}(ℂ) la matrice

; ; ; \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 + & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} ; ; ;

a- Calculer _{}( ) le polynôme caractéristique de la matrice , et le factoriser. b- Quelles sont les valeurs propres complexes de ? c- Discuter, suivant les différentes valeurs de , la dimension des sous-espaces

propres (dans ℂ^{3}) associés à . 1- Pour quelles valeurs de la matrice est-elle diagonalisable sur ℂ? sur ℝ? 2- On suppose que est diagonalisable sur ℂ.

d- Donner une matrice diagonale et une matrice inversible de _{3}(ℂ)

telles que

= ^{1}

e- Montrer que

( + )( (1 ) )( (2 + ) ) = 0

3- On suppose que = 1 2.

f- Montrer que est semblable à une matrice triangulaire supérieure. g- Montrer qu’on a

( + )( \frac{3}{2} )^{2} = 0